LOGIKA MATEMATIKA

A. Pernyataan dan ingkarannya

Logika matematika adalah ilmu matematika yang mempelajari tentang pola piker yang tepat dan logis. Dalam penyampaian pikiran, seseorang menggunakan kalimat. Dalam kehidupan sehari – hari, terdapat bermacam – macam bentuk kalimat. Tetapi, dalam matematika hanya akan dipelajari kalimat yang mempunyai arti, yaitu kalimat pernyataan, kalimat terbuka dan kalimat bukan pernyataan.

Pernyataan atau kalimat deklaratif adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, yaitu bernilai benar atau salah tetapi tidak bernilai benar sekaligus salah. Nilai kebenaran suatu pernyataatn disebut nilai logika. Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan dilakukan dengan cara berikut   :

  1. Cara empiris yaitu nilai kebenaran kenyataan atau fakta pada saat tertentu dan di tempat tertentu.

Contoh         : Ibu Kota Bali adalah Denpasar

  1. Cara nonempiris yaitu nilai kebenaran yang bersifat mutlak.

Contoh         : jumlah sudut pada segitiga adalah 180 derajat.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, sehingga kalimat terbuka bukanlah pernyataan. Suatu kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan menentukan nilai variable dari kalimat terbuka tersebut atau dengan menambahkan kuantor.

Negasi atau ingkaran suatu pernyataan adalah lawan atau kebalikan dari pernyataan semula dan nilai kebenarannya juga kebalikan dari pernyataan semula. Ingkaran dari pernyataan p ditulis ~p dibaca bukan p

Contoh :

P             : ari baca komik

~p           : tidak benar bahwa ari membaca komik

: Ari tidak baca komik

Perhatikan tabel kebenran dari pernyataan  p dan ingkarannya dibawah ini

P

~p

B

S

S

B

B. Disjungsi dan kongjungsi berserta ingkarannya

Disjungsi adalah pernyatan majemuk yang berbentuk dari pernyataan p dan q dengan kata hubung “atau” dilambangkan “v”. jadi, p v q dibaca “p atau q”.

Ingkaran dari pernyataatn majemuk p v q adalah ~ ( p v q ) ≡ ~p v ~ q

Kongjungsi dari pernyataan p dan q adalah penggabungan dari pernyataan p dan q menjadi pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan” dilambangkan “ ᶺ “. Jadi, p ᶺ q dibaca “p dan q” . kongjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar jika kedua komponennya bernilai benar.

Ingkaran dari pernyataan majemuk p ᶺ q adalah ~( p ᶺ q ) ≡ ~ p ᶺ ~ q .

Tabel kebenaran disjungsi dan kongjungsi           :

p

q

p v q

p ᶺ q

B

B

B

B

B

S

B

S

S

B

B

S

S

S

S

S

C. Implikasi, Biimplikasi, Invers, Konvers dan Kontraposisi

1. Implikasi    : penggabungan dari pernyataan p dan q menjadi pernyataan majemuk dengan kata hubung “ jika…..maka…” dan dilambangkan “⇒”. Implikasi pernyataan p dan q dilambangkan “p ⇒ q” dapat dibaca

  1. Jika p maka q
  2. P mengakibatkan q
  3. q hanya jika p
  4. p syarat cukup untuk q
  5. q syarat cukup untuk p

Implikasi disebut dengan pernyataan bersyarat. Jika p disebut alas an atau sebab maka q disebut kesimpulan atau akibat. Nilai kebenaran implikasi akan selalu benar kecuali untuk jika p maka q salah.

Ingkaran dari pernyataan majemuk p ⇒ q adalah ~( p ⇒ q) ≡ p ᶺ ~ q

2. biimplikasi : penggabungan pernyataan p dan q dengan pernyataan bersyarat majemuk yang menggunakan kata hubung “…. Jikadan hanya jika…” dan dilambangkan “.⇔” disebut biimplikasi atau implikasi dua arah.

Lambang “p ⇔ q” dibaca “p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. nilai kebenaran biimplikasi “p ⇔ q” akan benar, jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama yaitu sama – sama benar atau sama – sama salah.

Ingkaran dari pernyataan majemuk p ⇔ q adalah ~(p ⇔q) ≡(p ᶺ ~q) v (q ᶺ ~p).

Tabel kebenaran implikasi dan biimplikasi          :

p q p ⇒ q p ⇔q
B B B B
B S S S
S B B S
S S B B

3. Konvers, invers dan kontraposisi

Dari implikasi p ⇒ q dapat dibentuk sebagai berikut            :

  1. q ⇒ p disebut konvers dari p ⇒  q
  2. ~ p ⇒ ~q disebut invers dari p ⇒  q
  3.  ~q ⇒ ~p disebut kontraposisi dari p ⇒ q.

Hubungan antara implikasi di atas dapat di tunjukkan dengan diagram di bawah ini :

D.  Kuantor universal dan kuantor Eksistensial

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang melibatkan kata menyatakan jumlah anggota semesta pembicaraan untuk mewakili suatu system atau keadaan.

Ada dua macam kuantir yaitu sbb          :

  1. Kuantor universal ( ⍱ )

Dibaca : semua,seluruh,setiap,tanpa kecuali

Contoh : ⍱a, a≥ 0 (dibaca : untuk semua a berlaku a≥ 0 )

  1. Kuantor Eksistensial ( ⁆ )

Dibaca : ada, beberapa, terdapat, diantara

Contoh : ⁆s, 2s + 8 = 18 (dibaca terdapat s, sehingga 2s + 8 = 18)

E. Penarikan kesimpulan

Dalam logika matematika, dikenal tiga moteda penarikan kesimpulan yaitu sbb :

  1. Modus Ponens

Premis  1 : p ⇒ q  (benar)

Premis 2 :           p  (benar)

Konklusi :             q  (benar)

2. Modus Tolens

Premis 1 : p ⇒ q  (benar)

Premis 2 :     ~q  (benar)

Konklusi :     ~p  (benar)

3. Silogisme

Premis 1 :  p ⇒ q  (benar)

Premis 2 : q ⇒ r  (benar)

Konklusi :  p ⇒ r   (benar)

F. Bukti langsung dan tidak langsung

Hukum atau rumus matematika umumnya dapat dibuat bentuk implikasi yaitu jika p maka q atau p ⇒ q . perhatikan tabel kebenaran disbawah ini :

p q p ⇒ q
B B B
B S B
S B B
S S B

Metode pembuktikan disini adalah untuk membuktikan kebenaran p ⇒ q  , apabila diketahui p bernilai benar. Ada beberapa cara untuk pembuktikan.

  1. Bukti langsung

Pembuktian langsung merupakan pembuktian sifat matematika dengan cara melakukan manipulasi definisi fakta atau sifat – sifat matematika yang telah dipelajari.

Metode pembuktiannya adalah dengan mengasumsikan bahwa p bernilai benar, kemudian dengan langkah – langkah yang benar atau dengan implikasi yang lain. Kita perhatikan bahwa pernyataan q juga benar. Jadi p ⇒ q  bernilai benar berdasarkan baris pertama pada tabel diatas.

  1. Bukti tidak langsung

Pembuktian kebenaran dengan menggunakan pernyataan lain yang masih berhubungan.

a. Dengan kontraposisi

Pernyataan p ⇒ q  ekuivalen dengan kontraposisinya yaitu ~q ⇒ ~p. sehingga untuk pembuktikan kebenaran pernyataan p ⇒ q   benar. Kita dapat memisalkan pernyataan ~q benar atau q salah, kemudian dengan langkah – langkah yang benar atau dengan implikasi yang lain kita perhatikan bahwa pernyataan p juga salah.

b. Dengan kemustahilan

Metodenya adalah dengan memisalkan bahwa  p ⇒ q    bernilai salah atau ingkarannya benar yaitu p ᶺ ~q benar. Selanjutnya dengan langkah – langkah yang benar kita tunjukan suatu kontradiksi yang berarti pemisalan pertama kita salah atau p ⇒ q  bernilai benar.

G. Induksi matematika

Induksi matematika adalah proses pembuktian teori umum atau rumus dari kasus – kasus khusus. Langkah – langkah pembuktian dengan induksi matematika sbb  :

  1. Dibuktikan rumus benar untuk n = 1
  2. Andaikan rumus benar n = k, maka dibuktikan rumus benar untuk n =k+1

Rumus benar untuk a dan b,maka benar untuk semua n ∊ A.

About these ads